题目内容

已知数列{a_n}对任意的正整数n都有a_n-2a_n+1=0，a₁=2，数列{b_n}满足对任意正整数n，b_n是a_n和a_n+1的等差中项，则数列{b_n}的前10项和为________．

$\text{[math]}$
分析：由条件可得数列{a_n}是以2为首项、以 $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，求出数列{a_n}的通项公式，再由b_n是a_n和a_n+1的等差中项
可得数列{b_n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式求得数列{b_n}的前10项和．
解答：∵数列{a_n}对任意的正整数n都有a_n-2a_n+1=0，a₁=2，
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故数列{a_n}是以2为首项、以 $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
∴a_n=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
b_n是a_n和a_n+1的等差中项，故 b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
则数列{b_n}的前10项和为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查等差中项的定义，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，求出数列{b_n}的通项公式，是解题的关键，属于中档题．

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