Question

如图四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PC与平面ABCD成45°角，E、F分别为PA、PB的中点．

(1)求异面直线DE与AF所成角的大小；

(2)设M是PC上的动点，试问当M在何处时，才能使AM⊥平面PBD，证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，F(1，0，)，D(0，2，0)，E(0，0，)；(1，0，)，(0，－2，)． 　　设与的夹角为θ， 　　则cos＝＝＝， 　　∴DE与AF所成的角为arccos． 　　(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD． 　　又ABCD是正方形，∴BD⊥AC，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AM． 　　由题意可设M点坐标为(t，t，2(2－)， 　　∴又P(0，0，2)，B(2，0，0)，＝(2，0，－2)． 　　设AM⊥PB，∴·＝0，即2t－2×(2－t)＝0． 　　∴t＝，∴||＝，又||＝4， 　　∴M在＝2这位置于，AM⊥平面PBD． 　　法二：(1)连CF、EF取CD的中点G，连EG、AG，由题意EF⊥AB，则EF⊥DG， 　　∴四边形EDGF为平行四边形，∴FG⊥ED． 　　∴∠AFG即DE和AF所成的角(或其补角)． 　　又PC与底面所成角45°，∴PA＝AC＝2，∴ED＝＝FG，AF＝，AG＝． 　　∴cos∠AFG＝＝，∴DE与AF所成的角为arccos． 　　∴连AC交BD于O，AC⊥BD，PA⊥BD． 　　∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥BD． 　　欲使AM⊥平面PDB，则只需AM⊥PO即可． 　　在Rt△PAC中，(如图)过C作CH∥PA交AM处长线于H， 　　又，∴M在＝2这位置于，AM⊥平面PBD．

提示：

分析：(1)．求异面直线所成角一般通过直线平移，或用空间向量． 　　(2)探究性问题考虑当AM⊥平面PBD，M点特点和性质． 　　说明：本题体现高考立体几何解答题考查的三个热点问题：一是用空间向理求线线角问题；二是线线、线面平行与垂直问题；三是探究性问题．