Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证B₁A∥面BDC₁，欲证根据直线与平面平行的判定定理可知只需证B₁A与面BDC₁内一直线平行即可，连接B₁C，交BC₁于点O，根据中位线可知OD∥B₁A，又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁，满足定理所需条件；
（2）以点C为坐标原点，CC₁为x轴，CA为y轴，CB为z轴，建立空间直角坐标系，求出向量

C1D

和向量

C1B

，设平面C₁DB的法向量为n=（x，y，z）可求出

n

，而平面BDC的法向量为

CC1

，根据向量的夹角公式可求出二面角C₁-BD-C的余弦值．

解答：（1）证明：连接B₁C，交BC₁于点O，
则O为B₁C的中点，
∵D为AC中点，
∴OD∥B₁A，
又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁
∴B₁A∥面BDC₁（4分）

（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥面ABC，
则BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC
如图建系，则C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）
∴

C1D

=（-3，1，0），

C1B

=（-3，0，2）
设平面C₁DB的法向量为n=（x，y，z）
则n=（2，6，3）
又平面BDC的法向量为

CC1

=（3，0，0）
∴二面角C₁-BD-C的余弦值：cos＜

CC1

，n＞=

CC1 ，n

| CC1 |，|n|

=

2

7

点评：本题主要直线与平面平行的判定，以及利用空间向量的知识求二面角．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．