Question

求下列函数的值域．
（1）y=

cosx

2cosx+1

；
（2）y=

1+sinx

3+cosx

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分离常数，借助三角函数的有界性求解．
（2）把函数y=

1+sinx

3+cosx

化成整式，化成asinx+bcosx的形式，借助三角函数的有界性求解．

解答： 解：（1）y=

cosx

2cosx+1

=

2cosx+1-1

2(2cosx+1)

=

1

2

-

1

2(2cosx+1)

，
∵-1≤cosx≤1，
∴-2≤4cosx+2＜0，或0＜4cosx+2≤6，
∴

1

4cosx+2

≤-

1

2

，或∴

1

4cosx+2

≥

1

6

，
∴

1

2

-

1

2(2cosx+1)

≥1，

1

2

-

1

2(2cosx+1)

≤

1

3

，
∴y=

cosx

2cosx+1

的值域为（-∞，

1

3

]∪[1，+∞）
（2）解：∵y=

1+sinx

3+cosx

，
∴3y+ycosx=1+sinx，
即sinx-ycosx=3y-1，
∴

1+y2

sin（x+θ）=3y-1，
∴sin（x+θ）=

3y-1

1+y2

，
又-1≤sin（x+θ）≤1，∴-1≤

3y-1

1+y2

≤1
解得0≤y≤

3

4

，
即函数y=

1+sinx

3+cosx

的值域是[0，

3

4

]．

点评：本题考查三角函数的最值，考查辅助角公式与正弦函数的有界性，考查转化与方程思想，属于中档题．