Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），其中a、b为实常数．
（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；
（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；
（3）若对任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在x∈[

1

4

，1]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）由已知，方程）=x+

a

x

+b=3x+1有且仅有一个解x=2，
因为x≠0，故原方程可化为2x²+（1-b）x-a=0，…（1分）
所以

10-a-2b=0 (1-b)2+8a=0

，…（3分）解得a=-8，b=9．…（5分）
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，

a

）上是减函数，在（

a

，+∞）上是增函数．…（7分）
证明：设x₁，x₂∈（

a

，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=x₂+

a

x2

-x₁-

a

x1

=（x₂-x₁）•

x1x2-a

x1x2

，
因为x₁，x₂∈（

a

，+∞），且x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞a，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0．…（10分）
所以f（x）在（

a

，+∞）上是增函数．…（11分）
（3）因为f（x）≤10，故x∈[

1

4

，1]时有f（x）_max≤10，…（12分）
由（2），知f（x）在区间[

1

4

，1]的最大值为f（

1

4

）与f（1）中的较大者．…（13分）
所以，对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在x∈[

1

4

，1]上恒成立，当且仅当

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

，
即

b≤ 39 4 -4a b≤9-a

对任意的a∈[

1

2

，2]成立．…（15分）
从而得到b≤

7

4

．  …（17分）
所以满足条件的b的取值范围是（-∞，

7

4

]．  …（18分）