题目内容
某学科的试卷中共有12道单项选择题．（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分＞．某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这12道选择题，求：（I）该考生得分为60分的概率；
（II）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．
分析：（I）本题是一个相互独立事件同时发生的概率，考生要得60分，其余四道题必须全做对，根据条件中所说的关于四道题目的判断情况，得到每个题作对的概率，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（II）由题意知该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错，得45分表示三道题目中有一道题目做对，以此类推，得到概率，分布列和期望．
（II）由题意知该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错，得45分表示三道题目中有一道题目做对，以此类推，得到概率，分布列和期望．
解答：解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
考生要得60分，其余四道题必须全做对，
∴得60分的概率为 P=
×
×
×
=
．
（II）由题意知该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，
得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错，
故求概率为 P(ξ=40)=
×
×
×
=
；
同样可求得得分为45分的概率为
P(ξ=45)=
×
×
×
×
+
×
×
×
+
×
×
×
=
；
得分是50分的概率为P（ξ=50）=
；
得分是55分的概率为P（ξ=55）=
；
得分是60分的概率为P（ξ=60）=
．
∴ξ的分布列为
∴Eξ=40×
+45×
+50×
+55×
+60×
=
．
该考生所得分数的数学期望为
考生要得60分，其余四道题必须全做对，
∴得60分的概率为 P=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 48 |
（II）由题意知该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，
得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错，
故求概率为 P(ξ=40)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
同样可求得得分为45分的概率为
P(ξ=45)=
| C | 1 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 17 |
| 48 |
得分是50分的概率为P（ξ=50）=
| 17 |
| 48 |
得分是55分的概率为P（ξ=55）=
| 7 |
| 48 |
得分是60分的概率为P（ξ=60）=
| 1 |
| 48 |
∴ξ的分布列为
∴Eξ=40×
| 6 |
| 48 |
| 17 |
| 48 |
| 17 |
| 48 |
| 7 |
| 48 |
| 1 |
| 48 |
| 575 |
| 12 |
该考生所得分数的数学期望为
| 575 |
| 12 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，等可能事件的概率，考查用概率知识解决实际问题，是一个新课标高考卷中要出的解答题目．
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