题目内容
已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，若
=0（O为坐标原点），求直线l的方程．
【答案】分析：（1）由题意判断点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，进而可求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程为y=x+n，代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理，结合
=0，即可求得直线l的方程．
解答：解：（1）由题意得，F1（-1，0），F2（1，0），圆F1的半径为
，且|MF2|=|MP|…（1分）
从而
…（3分）
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，…（5分）
其中长轴
，得到
，焦距2c=2，则短半轴b=1
椭圆方程为：
…（6分）
（2）设直线l的方程为y=x+n，由
可得3x2+4nx+2n2-2=0…（8分）
则△=16n2-24（n2-1）＞0，即n2＜3①…（9分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
由
可得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+n）（x2+n）=0…（10分）
整理可得
化简可得3n2=4，满足①式，故直线]l的方程为：
…（12分）
点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的定义，联立直线与椭圆方程，属于中档题．
（2）设直线l的方程为y=x+n，代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理，结合
=0，即可求得直线l的方程．解答：解：（1）由题意得，F1（-1，0），F2（1，0），圆F1的半径为
，且|MF2|=|MP|…（1分）从而
…（3分）∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，…（5分）
其中长轴
，得到，焦距2c=2，则短半轴b=1椭圆方程为：
…（6分）（2）设直线l的方程为y=x+n，由
可得3x2+4nx+2n2-2=0…（8分）
则△=16n2-24（n2-1）＞0，即n2＜3①…（9分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
由
可得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+n）（x2+n）=0…（10分）整理可得
化简可得3n2=4，满足①式，故直线]l的方程为：
…（12分）点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的定义，联立直线与椭圆方程，属于中档题．
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