Question

已知点P是圆F₁：（x+1）²+y²=8上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线m分别与PF₁、PF₂交于M、N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，若

OA

•

OB

=0（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意判断点M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，进而可求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程为y=x+n，代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理，结合

OA

•

OB

=0，即可求得直线l的方程．

解答：解：（1）由题意得，F₁（-1，0），F₂（1，0），圆F₁的半径为2

2

，且|MF₂|=|MP|…（1分）
从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=2

2

＞|F1F2|…（3分）
∴点M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，…（5分）
其中长轴2a=2

2

，得到a=

2

，焦距2c=2，则短半轴b=1
椭圆方程为：

x2

2

+y2=1…（6分）
（2）设直线l的方程为y=x+n，由

y=x+n x2 2 +y2=1

可得3x²+4nx+2n²-2=0…（8分）
则△=16n²-24（n²-1）＞0，即n²＜3①…（9分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-4n

3

，x1x2=

2n2-2

3

由

OA

•

OB

=0可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（x₁+n）（x₂+n）=0…（10分）
整理可得2x1x2+n(x1+x2)+n2=0
化简可得3n²=4，满足①式，故直线]l的方程为：y=x±

2 3

3

…（12分）

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的定义，联立直线与椭圆方程，属于中档题．