Question

已知函数，数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据猜想数列{a_n}的通项公式，并证明；
（3）求证：．

Answer 1

解：（1）f'_n（x）=x²-（n+1）x+1，（n∈N^*）
∴a_n+1=a_n²-（n+1）a_n+1
∵a₁=3．
∴a₂=a₁²-2a₁+1=4
a₃=a₂²-3a₁+1=5
a₄=a₃²-4a₃+1=6
（2）猜想a_n=n+2
当n=1时，显然成立
假设当n=k（k≥1）时成立，即有a_k=k+2
则当n=k+1时，a_k+1=a_k²-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1
=k+3=（k+1）+2
即当n=k+1时，猜想也成立．
所以对一切n∈N^*，a_n=n+2均成立．
（3）证明：当k≥2时，=（）
所以n≥2时，有＜[（）++…（）]
=（）＜
又=1，
所以，
原不等式成立．
分析：（1）由已知，对f_n（x）求导，由a_n+1=f'_n（a_n）应得出a_n+1=a_n²-（n+1）a_n+1，利用此递推式求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）求得的结果，应猜想a_n=n+2，可用数学归纳法证明．
（3）当k≥2时，=（），
对不等式右边的项放缩后，化简整理，寻求出与的大小关系，来证明不等式．
点评：本题是函数、数列、不等式的综合．考查了计算、归纳猜想、证明的数学思想方法，放缩法证明不等式（结合了裂项法数列求和）．