Question

已知f(x)＝x²＋c，且f［f(x)］＝f(x²＋1)，

(1)设g(x)＝f［f(x)］，求g(x)的解析式；

(2)设φ(x)＝g(x)－λf(x)，试问是否存在实数λ，使φ(x)在(－∞，－1)内是减函数，并在(－1，0)内是增函数．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由f［f(x)］＝f(x2＋1)即(x2＋c)2＋c＝(x2＋1)2＋c 整理得(c－1)(2x2＋c＋1)＝0，∴c＝1 ∴g(x)＝x4＋2x2＋2 (2)φ(x)＝g(x)－λf(x)＝(x4＋2x2＋2)－λ(x2＋1)＝x4＋(2－λ)x2＋2－λ 设y＝φ(x)，x2＝t 则y＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在(0，1)上递减，且在(1，＋∞)上递增 ∴－＝1，即λ＝4

提示：

本题主要利用了数学中最基本的思想方法：待定系数法和换元法，转化为二次函数的单调性问题．