题目内容

已知函数f（x）=x+ $数学公式$ +m（p≠0）是奇函数．
（1）求m的值．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值和最小值．

解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∴-x- $\text{[math]}$ +m=-x- $\text{[math]}$ -m．
∴2m=0，
∴m=0．
（2）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在[1，2]上为增函数．
∴f（x）_max=f（2）=2+ $\text{[math]}$ ，f（x）_min=f（1）=1+p．

（ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．
①当 $\text{[math]}$ ＜1，即0＜p＜1时，f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）_max=f（2）=2+ $\text{[math]}$ ，f（x）_min=f（1）=1+p．
②当 $\text{[math]}$ ∈[1，2]时，f（x）在[1，p]上是减函数．在[p，2]上是增函数．
f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ．
f（x）_max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+ $\text{[math]}$ }．
当1≤p≤2时，1+p≤2+ $\text{[math]}$ ，f（x）_max=f（2）；
当2＜p≤4时，1+p≥2+ $\text{[math]}$ ，f（x）_max=f（1）．
③当 $\text{[math]}$ ＞2，即p＞4时，f（x）在[1，2]上为减函数，
∴f（x）_max=f（1）=1+p，f（x）_min=f（2）=2+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由“f（x）=x+ $\text{[math]}$ +m（p≠0）是奇函数”，则有f（-x）=-f（x）成立，用待定系数法求解即可．
（2）要研究最值，首先要研究其单调性，可根据单调性定义证明，再研究相应区间上的最值．
点评：f（x）=x+ $\text{[math]}$ （p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法．