Question

定义在正整数集上的函数f(x)对任意m，n∈N^*，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)＋4(m＋n)－2，且f(1)＝1．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若m²－tm－1≤f(x)对于任意的m∈[－1，1]、x∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；

(3)对任意正整数n，在内总存在m＋1个实数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使f(a₁)＋f(a₂)＋…＋f(a_m)＜f(a_m+1)成立，求m的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)取，，

　　当时，

　　，

　　又，∴；

　　(2)，

　　∴时，

　　由条件得在上恒成立，即，

　　若，则，

　　若，则，即，

　　若，则，即，

　　综上：；

　　(3)∵在上单调递增，

　　∴

　　∴只须对恒成立，

　　而，

　　∴即，又，

　　∴．