题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$ ，
（1）求 $数学公式$ 的坐标；
（2）当k为何值时， $数学公式$ 与 $数学公式$ 垂直？．
（3）设向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为θ，求cos2θ的值．

解：（1） $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ =（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）…4分
（2）k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），
$\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ =（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）…6分
由（k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）⊥（ $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ ）得：
（k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ ）=10（k-3）-4（2k+2）=2k-38=0，
k=19…8分
（3）依题意，cosθ= $\text{[math]}$ ，…10分
∴cos2θ=2cos²θ-1=- $\text{[math]}$ …12分
分析：（1）利用向量的坐标运算即可求得答案；
（2）可求得k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ 的坐标，利用（k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ ）=0即可求得k的值；
（3）利用向量的坐标运算可求得向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角θ的余弦，再利用余弦函数的二倍角公式即可求得cos2θ的值．
点评：本题考查向量的坐标运算，考查数量积判断两个平面向量的垂直关系及二倍角的余弦，考查分析与运算能力，属于中档题．