题目内容

设a＞b＞1，M=
lga•lgb
，  N=lg
a+b
2
，  P=
1
2
lg(ab)，则M，N，P的大小关系为
M＜P＜N
M＜P＜N
（用＜联接）．
分析：根据对数的运算法则和基本不等式进行证明．
解答：解：因为a＞b＞1，所以lga＞lgb＞0．
因为
1
2
lg?(ab)=lg?
ab
≤lg?
a+b
2
，a＞b＞1，所以等号取不到，即
1
2
lg?(ab)＜lg?
a+b
2
，此时P＜N．
因为
lg?a?lg?b
≤
lg?a+lg?b
2
=
1
2
lg?(ab)，a＞b＞1，所以等号取不到，所以
lg?a?lg?b
＜
1
2
lg?(ab)，即M＜P．
所以M＜P＜N．
故答案为：M＜P＜N．
点评：本题主要考查对数的运算法则以及基本不等式的应用，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
已知直线l过点（0，
5
4
），且斜率为
1
2
，抛物线C：y2=2px（p大于0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若
OA
．
OB
+P2=0（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．
设a，b∈R，若M=
a    0
-1  b
所定义的线性变换把直线l：2x+y-7=0变换成另一直线l′：x+y-3=0，则a+b=
 
．
已知直线x=-1的方向向量为
a
及定点F（1，0），动点M，N，G满足
MN
-
a
=0，
MN
+
MF
=2
MG
，
MG
•（
MN
-
MF
）=0，其中点N在直线l上．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，若α+β=θ为定值（0＜θ＜π），试问直线AB是否恒过定点，若AB恒过定点，请求出该定点的坐标，若AB不恒过定点，请说明理由．
已知以向量
v
=(1，
1
2
)为方向向量的直线l过点(0，
5
4
)，抛物线C：y2=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若
OA
•
OB
+p2=0（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．
（2007•杨浦区二模）（理）设斜率为k1的直线L交椭圆C：
x2
2
+y2=1于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．
（1）求k1?k2的值．
（2）把上述椭圆C一般化为
x2
a2
+
y2
b2
=1
（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k1与k2关系（不需要证明）．请你给出在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．

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