Question

（12分）如图，在棱长为1的正方体中，
（I）在侧棱上是否存在一个点P，使得直线与平面所成角的正切值为
；（Ⅱ）若P是侧棱上一动点，在线段上是否存在一个定点，使得在平面上的射影垂直于．并证明你的结论．

Answer 1

（I）略   （Ⅱ）略

解法一：（Ⅰ）如图,设PC=m,连AC，  
设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点G，,
连结OG，因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,故OG∥PC，§
K所以，OG＝PC＝．又AO⊥BD,AO⊥BB₁，所以AO⊥平面，故∠AGO是AP与平面所成的角．
在Rt△AOG中，tanAGO＝，
即m＝．所以，当PC＝时，
直线AP与平面所成的角的正切值为． …………………6分
（Ⅱ）可以推测，点Q应当是A₁C₁的中点O₁，因为D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直． …………………12分
解法二：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，
B₁(1，1，1)，D₁(0，0，1)
所以
又由知，为平面的一个法向量．
设AP与平面所成的角为，
则。
依题意有解得．
故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为． ………6分
（Ⅱ）若在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为， 
则Q(x，1－，1)，。
依题意，要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，
等价于D₁Q⊥AP
即Q为A₁C₁的中点时，满足题设要求． …………………12分