Question

已知向量

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，x∈[0，

π

3

]
（1）求f(x)=

a • b

| a + b |

的最大值．
（2）若不等式λ

a

•

b

-

1

2

|

a

+

b

|+λ-1≤0对x∈[0，

π

3

]恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数公式、向量的坐标运算得出f(x)=

a • b

| a + b |

=cosx-

1

2cosx

，再令t=cosx，则y=t-

1

2t

，利用单调性求出最大值即可．
（2）将原不等式化成λ（1+cos2x）≤1+cosx，将参数λ分离，得出λ≤

1+cosx

2cos2x

．同样地利用换元法求出右边最小值，λ小于等于最小值即可．

解答：解：（1）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x=2cos²x-1，
|

a

+

b

|²=

a

²+2

a

• 

b

+

b

²=1+2cos2x+1=2+2（2cos²x-1）=4cos²x，x∈[0，

π

3

]，cosx＞0，
|

a

+

b

|=2cosx．
f(x)=

a • b

| a + b |

=cosx-

1

2cosx

，令t=cosx，则y=t-

1

2t

，在t∈[

1

2

，1]上是增函数，当t=1时，y取得最大值

1

2

．
（2）若不等式λ

a

•

b

-

1

2

|

a

+

b

|+λ-1≤0即为
λcos2x-cosx+λ-1≤0．λ（1+cos2x）≤1+cosx，，x∈[0，

π

3

]，1+cos2x＞0，
∴λ≤

1+cosx

1+cos2x

=

1+cosx

2cos2x

．令t=cosx，则g（t）=

1+t

2t2

，g′（t）=-

1

2t2

-

1

t3

＜0，
∴g（t）在t∈[

1

2

，1]上是减函数，当t=1时，取得最小值1，所以λ≤1．

点评：本题考查向量的运算，三角函数公式的应用，函数的性质，不等式恒成立问题，考查换元法、分离参数法、利用导数求函数最值．