题目内容

函数y= $数学公式$ 的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的横坐标之和等于________．

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分析：y₁= $\text{[math]}$ 的图象由奇函数y=- $\text{[math]}$ 的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数图象的对称中心公式，可得函数y₂=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．
解答：设函数y₁= $\text{[math]}$ ，y₂=2sinπx（-2≤x≤4）

可得两个函数的图象有公共的对称中心（1，0），
作出两个函数的图象如右图
当1＜x≤4时，在区间（-2， $\text{[math]}$ ）上满足0＜y₁＜2
而函数y₂在（-2，1）上出现1.5个周期的图象，
在（-2，- $\text{[math]}$ ）和（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上是增函数；在（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）和（ $\text{[math]}$ ，1）上是减函数，且y₂≤2．
∴函数y₂在（-2，1）上函数值为正数时，与y₁的图象有四
交点A、B、C、D
相应地，y₂在（1，4）上函数值为负数时，与y₁的图象有四个交点E、F、G、H
且：x_A+x_H=x_B+x_G═x_C+x_F=x_D+x_E=2，故所求的横坐标之和为8
故答案为：8
点评：本题给出分式函数和三角函数，求两函数图象交点横坐标满足的关系式．发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y₂=2sinπx的单调性找出区间（-2， $\text{[math]}$ ）上的交点个数是本题的难点所在．