Question

如图，在正方体中，O是下底面的中心，B′H⊥D′O，H为垂足，求证：
（1）A′C′∥平面ABCD；
（2）AC⊥平面BB′D′D
（3）B′H⊥平面AD′C．

Answer 1

证明：（1）由正方体可得AA′

∥

.

CC′，∴四边形ACC^′A^′是平行四边形，∴A^′C^′∥AC．
∵AC?ABCD，A^′C^′?平面ABCD．
∴A′C′∥平面ABCD；
（2）由正方体的性质可得BB^′⊥平面ABCD，
∴BB′⊥AC．
由正方形ABCD可得AC⊥BD，
∵BD∩BB^′=B．
∴AC⊥平面BB′D′D．
（3）由（2）可得：AC⊥平面BB′D′D，
∴AC⊥B^′H．
又B^′H⊥D^′O．AC∩OD^′=O，
∴B′H⊥平面AD′C．