Question

19．在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ABC=90°，M是PB的中点，PA=AB=2．
（Ⅰ）求证：面PBC⊥面PAB；
（Ⅱ）若BC=1，求三棱锥A-PMC的体积．

Answer 1

分析 （1）由∠PAB=∠PAC=90°可知PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又由于BC⊥AB得出BC⊥平面PAB，所以面PBC⊥面PAB；
（2）由M为PB中点可得三棱锥A-PMC的体积为三棱锥P-ABC体积的一半．

解答 证明：（1）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
又∵AB?平面ABC，AC?平面ABC，AB∩AC=A，
∴PA⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
又∵AB?平面PAB，PA?平面PAB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，∵BC?平面PBC，
∴面PBC⊥面PAB．
（2）∵M是PB的中点，
∴V_棱锥M-ABC=$\frac{1}{2}$V_棱锥P-ABC，
∴V_棱锥A-PMC=V_棱锥P-ABC-V_棱锥M-ABC=$\frac{1}{2}$V_棱锥P-ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×2×2=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定定理，棱锥的体积计算，属于中档题．