Question

在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（-1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分线l交AC于D，当点C动点时，D点的轨迹图形设为E．
（1）求E的标准方程；
（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

Answer 1

解：（1）设（x，y）
∵l是BC的垂直平分线，
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2 ＞2=|AB|
∴D点的轨迹图形E是A，B为焦点的椭圆 其中2a=2 ，c=1，
∴a=，b²=a²-c²=1
∴D点的轨迹图形E：
（2）设 ，
则PO²=x²+y²，
PF²=（x-1）²+y²
∴|PO|²+|PF|²=2x²-2x+2y²+1
点P（x，y）满足 ，
∴2y²=2-x²
∴|PO|²+|PF|²=x²-2x+3=（x-1）²+2
∵x∈[-，]，∴当x=1时，|PO|²+|PF|²的最小值为2
分析：（1）设D（x，y），结合图象由垂直平分线的性质结合椭圆的定义知，点E的轨迹是椭圆，由定义求出参数，得出标准方程；
（2）设 ，得出PO²=x²+y²，PF²=（x-1）²+y²，整理表示出PO|²+|PF|²，再根据p点在曲线上得出2y²=2-x²，从而整理出|PO|²+|PF|²=x²-2x+3=（x-1）²+2 根据x的范围即可求出最小值．
点评：本题考查了轨迹方程以及直线与圆锥曲线问题，（2）问中要注意x的范围，此题是一道综合题．