Question

【题目】如图，已知抛物线：，四边形和都为正方形，原点为的中点，点在抛物线上.

（1）求点和点的坐标；

（2）过点的直线与抛物线相交于两点，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1），点的坐标为（2）直线的方程为或

【解析】

（1）分别假设正方形和边长为，利用表示出坐标，代入抛物线方程可构造方程求得，进而得到所求坐标；

（2）设，将直线方程与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式；根据数量积的坐标运算，代入韦达定理的结论可构造方程求得，从而得到所求直线方程.

（1）设正方形的边长为，则

代入得：，解得：或（舍） 点的坐标为

设正方形的边长为，则

代入方程得：，解得或（舍）

点的坐标为

（2）由（1）知，

设直线的方程为，点的坐标分别为，

联立方程，消去整理为：

则 ，

又，，

由得：，解得：

故直线的方程为

即直线的方程为：或