Question

（2012•安徽模拟）如图所示的多面体中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=

2

，PA⊥面ABC，PA=1，M、D分别是所在线段的中点，PADN为矩形．
（I）求证：MN∥面PAC；
（II）求平面MNC与平面PAC所成锐二面角大小θ．

Answer 1

分析：（I）以A为原点，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间右手直角坐标系，利用向量法能够证明MN∥面PAC．
（II）求出面MNC的一个法向量

n

=(-3，-1，

2

)和面PAC的一个法向

n

0=(1，0，0)，由此能求出平面MNC与平面PAC所成锐二面角大小θ．

解答：解：（I）以A为原点，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴，
建立空间右手直角坐标系，
∵∠BAC=

π

2

，AB=AC=

2

，PA⊥面ABC，PA=1，
M、D分别是所在线段的中点，PADN为矩形，
∴A(0，0，0)，B(

2

，0，0)，C(0，

2

，0)，
P(0，0，1)，M(

2

2

，0，

1

2

)，D(

2

2

，

2

2

，0)，N(

2

2

，

2

2

，1)．…（2分）
∵

MN

=(0，

2

2

，

1

2

)，

AB

=(

2

，0，0)，
∴

MN

•

AB

=0，
∵

AB

为面PAC的一个法向量，
∴MN∥面PAC．…（6分）
（II）∵N(

2

2

，

2

2

，1)，C（0，

2

，0），∴

NC

=(-

2

2

，

2

2

，-1)，
设面MNC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n • MN =0 n • NC =0

⇒

2 2 y+ 1 2 z=0 - 2 2 x+ 2 2 y-z=0

，
取

x=-3 y=-1 z= 2

，则

n

=(-3，-1，

2

)．
取面PAC的一个法向量

n

0=(1，0，0)，
则cosθ=

| n • n 0|

| n || n 0|

=

3

2 3

=

3

2

，
∴θ=

π

6

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．