Question

16．在△ABC中，BC=5，G，O分别为三角形的重心和外心，且向量$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{BC}$=5，则△ABC的形状是钝角三角形．

Answer 1

分析 在△ABC中，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得 ${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{AC}}^{2}$=30．又BC=5，可得 AB²＞BC²+AC²，故由余弦定理可得cosC＜0，可得角C为钝角，从而得到三角形ABC为钝角三角形．

解答 解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：
则OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，∵$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$，
由$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{DG}$）•$\overrightarrow{BC}$=0+$\overrightarrow{DG}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$
=-$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=-$\frac{1}{6}$（${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$）=5，
可得 ${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{AC}}^{2}$=30．
又BC=5，∴AB²=30+AC²=$\frac{6}{5}$BC²+AC²＞BC²+AC²，
故由余弦定理可得cosC＜0，故角C为钝角，三角形ABC为钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．

点评 本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用余弦定理判断三角形的形状是解题的关键，属于中档题．