题目内容
f（x）=1g（ax-bx）（a＞1＞b＞0）
（1）求f（x）的定义域；
（2）问是否存在实数a、b，当x∈（1，∞）时，f（x）的值域为（0，+∞），且 f（2）=1g2？若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由．
（1）求f（x）的定义域；
（2）问是否存在实数a、b，当x∈（1，∞）时，f（x）的值域为（0，+∞），且 f（2）=1g2？若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由．
分析：（1）由ax-bx＞0，（a＞1＞b＞0）得 (
)x＞1，由此求得f（x）的定义域．
（2）令g（x）=ax-bx，可得 x∈（1，+∞）时，g（x）＞1．由g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a2-b2=2 ②，由①②求得a、b的值．
| a |
| b |
（2）令g（x）=ax-bx，可得 x∈（1，+∞）时，g（x）＞1．由g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a2-b2=2 ②，由①②求得a、b的值．
解答：解：（1）由ax-bx＞0，（a＞1＞b＞0）得 (
)x＞1，∴x＞0．
∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）令g（x）=ax-bx，又 a＞1＞b＞0，∴g（x）在 （0，+∞）上为增函数．
当x∈（1，+∞）时，f（x）的值取到一切正数等价于x∈（1，+∞）时，g（x）＞1，
∴g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a2-b2=2 ②，
由①②得 a=
，b=
．
| a |
| b |
∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）令g（x）=ax-bx，又 a＞1＞b＞0，∴g（x）在 （0，+∞）上为增函数．
当x∈（1，+∞）时，f（x）的值取到一切正数等价于x∈（1，+∞）时，g（x）＞1，
∴g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a2-b2=2 ②，
由①②得 a=
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点评：本题主要考查对数函数的定义域，复合函数的单调性规律，对数函数的图象和性质的综合应用，属于中档题．
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