题目内容
已知函数f（x）=x+
，且f（1）=10．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）函数在（3，+∞）上是增函数，还是减函数？并证明你的结论．
| a | x |
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）函数在（3，+∞）上是增函数，还是减函数？并证明你的结论．
分析：（1）由f（x）=x+
，且f（1）=10，知f（1）=1+a=10，由此能求出a．
（2）由f（x）=x+
，知f（-x）=-f（x），由此能得到f（x）是奇函数．
（3）设x2＞x1＞3，利用定义法能推导出f（x）=x+
在（3，+∞）上为增函数．
| a |
| x |
（2）由f（x）=x+
| 9 |
| x |
（3）设x2＞x1＞3，利用定义法能推导出f（x）=x+
| 9 |
| x |
解答：解：（1）∵f（x）=x+
，且f（1）=10，
∴f（1）=1+a=10，解得a=9．
（2）∵f（x）=x+
，
∴f（-x）=-x+
=-（x+
）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）函数在（3，+∞）上是增函数．
证明如下：设x2＞x1＞3，f（x2）-f（x1）=x2+
-x1-
=（x2-x1）+（
-
）
=（x2-x1）+
=
，
∵x2＞x1＞3，∴x2-x1＞0，x1x2＞9，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）=x+
在（3，+∞）上为增函数．
| a |
| x |
∴f（1）=1+a=10，解得a=9．
（2）∵f（x）=x+
| 9 |
| x |
∴f（-x）=-x+
| 9 |
| -x |
| 9 |
| x |
∴f（x）是奇函数．
（3）函数在（3，+∞）上是增函数．
证明如下：设x2＞x1＞3，f（x2）-f（x1）=x2+
| 9 |
| x2 |
| 9 |
| x1 |
| 9 |
| x2 |
| 9 |
| x1 |
=（x2-x1）+
| 9?x1-x2? |
| x1x2 |
| ?x2-x1??x1x2-9? |
| x1x2 |
∵x2＞x1＞3，∴x2-x1＞0，x1x2＞9，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）=x+
| 9 |
| x |
点评：本题考查函数值的求法，考查函数的奇偶性和单调性的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|