Question

如图,在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=分 12式，tan∠MNP=2.建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程.

Answer 1

解析:题中没有给出坐标系,我们根据图形的对称性,建立坐标系.当然,我们可以尝试建立其他的坐标系.?

在此题中,角的正切可看作相应直线的斜率,从而得点P的坐标与c的关系,求a时可有三种方法：代入点法,利用椭圆的第一定义得方程；利用点在椭圆上,将点的坐标代入椭圆方程；根据△PMN是直角三角形.我们这里只介绍一种方法,读者可自己尝试其他方法.?

解:如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立坐标系.?

设以M、N为焦点,且过点P的椭圆方程为=1,焦点为M(-c,0),N(c,0).?

由tan∠PMN=,tan∠PNx=tan(π-∠PNM)=-2,

得直线PM和PN的方程分别为y=(x+c)和y=-2(x-c),?

联立两方程解得x=c,y=c,?

即P点坐标为(c,c).?

在△PMN中,MN=2c,MN上的高为c,?

∴S_△MNP=12×2c×45c=1.?

∴c=,即P点坐标为(),?

|PM|==2,|PN|==1.?

∴a=(|PM|+|PN|)=.从而b²=a²-c²=1,故所求椭圆方程为x²+y²=1.