Question

（理）若半径是R的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是

2 3

27

π

．

Answer 1

分析：通过题意求出棱柱的高，底面边长，底面面积，求出棱柱的体积，球的体积，然后求出体积比．

解答：解：球与正三棱柱各个面都相切，所以三棱柱高H=2R 底面边长 L=2

3

R 底面面积：S=

3

4

(2

3

R )2=3

3

R²
三棱柱体积：V=SH=6

3

R³；球的体积为：

4π

3

R3
所以球与正三棱柱的体积比：

4π

3

R3：6

3

R³=

2

27

3

π
故答案为：

2 3

27

π．

点评：本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．