Question

（08年杭州学军中学）  已知椭圆C：(.

（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围;

（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四边形一边的距离为，试求时满足的条件.

 

 

Answer 1

解析：（1） 

（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：

由得.

,（1）

又

由 ∴

所以

                       

（2）

由（1）（2）得：。

（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等。

当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，

当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，，则直线RQ的斜率为，

由，得(1)，同理(2)

在Rt△OPQ中，由，即

所以，化简得，

，即。

综上，d=1时a,b满足条件