Question

某公司生产某种产品的固定成本为2万元，每生产一件产品增加投入150元，已知收益T（单位：元）满足T（x）=

450x- 1 2 x2(0≤x≤400) 100000(x＞400))

，其中x是产品的月产量．
（Ⅰ）将利润W表示成月产量x的函数；
（Ⅱ）当月产量为多大时，公司的月利润最大？（收益=成本+利润）

Answer 1

（I）当0≤x≤400 时，W=450x-

1

2

x²-20000-150x=-

1

2

x²+300x-20000；
当x＞400 时，W=100000-20000-150x=-150x+80000；     
综上所述：W=

- 1 2 x2+300x-20000，(0≤x≤400) -150x+80000     (x＞400)

．
（II）当0≤x≤400时，f（x）=-

1

2

（x-300）²+25000，
∴当x=300 时，f（x）_max=25000；                  
当x＞400 时，f（x）=-150x+80000 是减函数，
∴f（x）＜-150×400+80000=20000；
 综上所述，当x=300 时，W_max=25000．
所以，当月产量为250台时，公司获得的月利润最大．