题目内容
已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1-an其中n=1，2，3，…．
（1）若bn=n且a1=1，求数列{an}的通项公式；
（2）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2时
①求数列{bn}的前6n项和；
②判断数列{
}中任意一项的值是否会在该数列中出现无数次？若存在，求出a1满足的条件，若不存在，并说明理由．
（1）若bn=n且a1=1，求数列{an}的通项公式；
（2）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2时
①求数列{bn}的前6n项和；
②判断数列{
| an | n |
分析：（1）利用叠加可得，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=a1+b1+b2+…+bn-1
可求an，
（2）①由bn+1bn-1=bn（n≥2），可有bn+6=
=
=
=bn，即数列{bn}，周期为6，数列{bn}的前6项分别为1，2，2，1，
，
，且这六个数的和为7．从而可求前6n项的和
②解：设cn=a6n+i（n≥0），则可得，cn+1-cn=7（n≥0）即数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，设fk=
=
=
=
+
，
分ai=
有
=
； 当ai≠
时 （i）若ai＞
，可得fk+1＜fk，即数列{
}为单调减数列；（ii）若ai＜
，则有fk+1＞fk，即数列{
}为单调增数列；设集合B={
，
，
，-
，-
}，通过检验a1与B的关系来判定
可求an，
（2）①由bn+1bn-1=bn（n≥2），可有bn+6=
| bn+5 |
| bn+4 |
| 1 |
| bn+3 |
| bn+1 |
| bn+2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②解：设cn=a6n+i（n≥0），则可得，cn+1-cn=7（n≥0）即数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，设fk=
| a6k+i |
| 6k+i |
| ai+7k |
| i+6k |
| ||||
| i+6k |
| 7 |
| 6 |
ai-
| ||
| i+6k |
分ai=
| 7i |
| 6 |
| an |
| n |
| 7 |
| 6 |
| 7i |
| 6 |
| 7i |
| 6 |
| a6k+i |
| 6k+i |
| 7i |
| 6 |
| a6k+i |
| 6k+i |
| 7 |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
解答：解：（1）当n≥2时，有an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=a1+b1+b2+…+bn-1…（3分）
=1+
=
-
+1．…（4分）
又因为a1=1也满足上式，所以数列{an}的通项为an=
-
+1．…（5分）
（2-①）解：因为bn+1bn-1=bn（n≥2），
所以，对任意的n∈N*有bn+6=
=
=
=bn，
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．…（8分）
又数列{bn}的前6项分别为1，2，2，1，
，
，且这六个数的和为7．
设数列{bn}的前n项和为Sn，则，S6n=7n； …（11分）
②解：设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．…（13分）
设fk=
=
=
=
+
，
（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当ai=
时，对任意的n=6k+i有
=
； …（15分）
当ai≠
时，fk+1-fk=
-
=(ai-
)(
-
)
=(ai-
)(
)
（i）若ai＞
，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，所以数列{
}为单调减数列；
（ii）若ai＜
，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，所以数列{
}为单调增数列；
综上：设集合B={
}∪{
}∪{
}∪{-
}∪{-
}∪{
}={
，
，
，-
，-
}，
当a1∈B时，数列{
}中必有某数重复出现无数次．
当a1∉B时，{
}（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列{
}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…（18分）
=1+
| (n-1)×n |
| 2 |
| n2 |
| 2 |
| n |
| 2 |
又因为a1=1也满足上式，所以数列{an}的通项为an=
| n2 |
| 2 |
| n |
| 2 |
（2-①）解：因为bn+1bn-1=bn（n≥2），
所以，对任意的n∈N*有bn+6=
| bn+5 |
| bn+4 |
| 1 |
| bn+3 |
| bn+1 |
| bn+2 |
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．…（8分）
又数列{bn}的前6项分别为1，2，2，1，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设数列{bn}的前n项和为Sn，则，S6n=7n； …（11分）
②解：设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．…（13分）
设fk=
| a6k+i |
| 6k+i |
| ai+7k |
| i+6k |
| ||||
| i+6k |
| 7 |
| 6 |
ai-
| ||
| i+6k |
（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当ai=
| 7i |
| 6 |
| an |
| n |
| 7 |
| 6 |
当ai≠
| 7i |
| 6 |
ai-
| ||
| 6(k+1)+i |
ai-
| ||
| 6k+i |
| 7i |
| 6 |
| 1 |
| 6(k+1)+i |
| 1 |
| 6k+i |
=(ai-
| 7i |
| 6 |
| -6 |
| [6(k+1)+i](6k+i) |
（i）若ai＞
| 7i |
| 6 |
| a6k+i |
| 6k+i |
（ii）若ai＜
| 7i |
| 6 |
| a6k+i |
| 6k+i |
综上：设集合B={
| 7 |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
当a1∈B时，数列{
| an |
| n |
当a1∉B时，{
| a6k+i |
| 6k+i |
| an |
| n |
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，数列单调性及数列的周期性的综合应用，试题的综合性较强，基本运算的量较大．
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