Question

若实数x，y满足2cos2(x+y-1)=

(x+1)2+(y-1)2-2xy

x-y+1

，则xy的最小值为

1

4

．

Answer 1

分析：配方可得2cos²（x+y-1）=

(x-y+1)2+1

x-y+1

=（x-y+1）+

1

x-y+1

，由基本不等式可得（x+y+1）+

1

x-y+1

≤2，或（x-y+1）+

1

x-y+1

≤-2，进而可得cos（x+y-1）=±1，x=y=

kπ+1

2

，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值．

解答：解：∵2cos2(x+y-1)=

(x+1)2+(y-1)2-2xy

x-y+1

，
∴2cos²（x+y-1）=

x2+2x+1+y2-2y+1-2xy

x-y+1

∴2cos²（x+y-1）=

x2+y2+2x-2y-2xy+1+1

x-y+1

，
故2cos²（x+y-1）=

(x-y+1)2+1

x-y+1

=（x-y+1）+

1

x-y+1

，
由基本不等式可得（x-y+1）+

1

x-y+1

≥2，或（x-y+1）+

1

x-y+1

≤-2，
∴2cos²（x+y-1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos²（x+y-1）=2，
故cos²（x+y-1）=1，即cos（x+y-1）=±1，此时x-y+1=1，即x=y
∴x+y-1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=

kπ+1

2

，
故xy=x•x=(

kπ+1

2

)2，当k=0时，xy的最小值

1

4

，
故答案为：

1

4

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y-1）=±1是解决问题的关键，属中档题．