Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）设an=1+

1

n

（n∈N^*），求证：3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²＜ln（n+1）+2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为函数在定义域上为增函数，所以f′（x）大于等于0恒成立，解出a小于等于一个函数，求出这个函利用基本不等式求出此函数的最小值即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）令a=3化简f（x），求出f′（x），因为当x大于1时导函数大于0，所以函数在大于1时为增函数，所以由1+

1

n

大于1得到f（1+

1

n

）大于f（1），分别表示出代入化简后得到3(1+

1

n

)-(1+

1

n

)2＜2+ln(1+

1

n

)即3an-

a

n 2

＜2+ln(1+

1

n

)，列举出各项即可得证．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x²-ax?（x＞0），则f′(x)=

1

x

+2x-a（x＞0）．
因为函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．即

1

x

+2x-a≥0在（0，+∞）上恒成立．
所以

1

x

+2x≥a．
因为当x＞0时，

1

x

+2x≥2

2

，当且仅当

1

x

=2x，即x=

2

2

时等号成立．
所以a≤2

2

时．
故实数a的取值范围是：(-∞，2

2

]．

（Ⅱ）令a=3，则f（x）=lnx+x²-3x．f′(x)=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
当x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．
所以f(1+

1

n

)＞f(1)=-2．
所以ln(1+

1

n

)+(1+

1

n

)2-3(1+

1

n

)＞-2．
所以3(1+

1

n

)-(1+

1

n

)2＜2+ln(1+

1

n

)．
即3an-

a

2 n

＜2+ln(1+

1

n

)．
所以3a₁-a₁²＜2+ln（1+1），3a2-

a

2 2

＜2+ln(1+

1

2

)，3a3-

a

2 3

＜2+ln(1+

1

3

)，
3an-

a

2 n

＜2+ln(1+

1

n

)．
所以3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²=（3a₁-a₁²）+（3a₂-a₂²）+…+（3a_n-a_n²）＜(2+ln

2

1

)+(2+ln

3

2

)+…+(2+ln

n+1

n

)＜2n+ln（n+1）．
故所证不等式成立．

点评：考查学生会利用导数研究函数的单调性，会利用基本不等式求函数的最值，掌握导数在函数最值问题中的应用，是一道中档题．