Question

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足，且对任意x、y∈（-1，1）有．
（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以证明．
（Ⅱ）令，，求数列{f（x_n）}的通项公式．
（Ⅲ）设T_n为的前n项和，若对n∈N^*恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用条件对任意x、y∈（-1，1）有，进行赋值，借助于奇偶函数的定义，可得结论；
（Ⅱ）首先判断0＜x_n＜1，再证明{f（x_n）}是1为首项，2为公比的等比数列，即可数列{f（x_n）}的通项公式；
（Ⅲ）先求得，再用错位相减法求和，进而将对n∈N^*恒成立，转化为，由此可求m的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵对任意x、y∈（-1，1）有…①
∴令x=y=0得f（0）=0；（1分）
令x=0由①得f（-y）=-f（y），
用x替换上式中的y有f（-x）=-f（x）（2分）
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）
（Ⅱ）{f（x_n）}满足，则必有
否则若x_n+1=1则必有x_n=1，依此类推必有x₁=1，矛盾
∴0＜x_n＜1（5分）
∴=f（x_n）-f（-x_n）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴，
又
∴{f（x_n）}是1为首项，2为公比的等比数列，（7分）
∴（8分）
（Ⅲ）（9分）
故…②
…③
②-③得=（11分）
∴＜6（12分）
∴若对n∈N^*恒成立，则须，解得m≤2（13分）
∴m的最大值为2． （14分）
点评：本题考查函数的奇偶性，考查等比数列的证明与通项的求解，考查错位相减法求和，考查恒成立问题，解题的关键是赋值法的运用．