Question

18.如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ.

（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；

（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.

Answer 1

本小题主要考查线面关系，直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：（Ⅰ）∵AC=BC=a,∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，

∴CD⊥AB.又VC⊥底面ABC,∴VC⊥AB.于是AB⊥平面VCD.

又AB 平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD.

（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H,则由（Ⅰ）知CH⊥平面VAB.

连接BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角。

在Rt△CHD中，。

设∠CBH=,在Rt△BHC中，CH=asin,

.∵,

,,又，∴，

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为.

解法2：（Ⅰ）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D ,.

于是，，.

从而，即AB⊥CD.

同理

.

即AB⊥CD,又CDVD=D,∴AB⊥平面VCD.

又AB平面VAB,

∴平面VAB⊥平面VCD.

（Ⅱ）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n=(x,y,z),

则由,.

得

可取，又。

于是，

∵，∴,。又，∴。

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为。

解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),，

，于是

。

从而，即AB⊥DC.

同理，即AB⊥DV.

又,∴AB⊥平面VCD.又平面VAB.

∴平面VAB⊥平面VCD.

（Ⅱ）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

得

可取，又，

于是，

∵，∴,。又，∴。

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为。

解法4：以CA、CB、CV所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),,设V(0,0,t)(t＞0).

（Ⅰ）.

即.

，

即AB⊥CD.

又

又平面VAB,

∴平面VAB⊥平面VCD.

（Ⅱ）设直线BC与平面VAB所成的角为，设n(x,y,z)是平面VAB的一个非零法向量，则

取z=a,得x=y=t,

可取=(t,t,a),又，

于是，

，sin关于t递增，

∴，∴，

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为。