Question

【题目】已知，，直线，，与曲线所围成的曲边梯形的面积为.其中，且.

（1）当时，恒成立，求实数的值；

（2）请指出，，的大小，并且证明；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2），证明见解析；（3）见解析

【解析】

（1）构造函数，借助导数分析函数单调性，研究的范围，即得解.

（2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证；

（3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证；

（1）由已知得时，不合题意，所以.

恒成立，即恒成立.

令，.

当时，在上为增函数，此时成立.

当时，在上为减函数，不合题意，所以.

令，，当时，在上为增函数，此时，恒成立.

当时，在上为减函数，不合题意，所以.

综上得.

（2）由（1）知.令，得，

从而，

又因为，则.

（3）由已知

，

因为，所以

，

.

从而.