Question

（2013•浙江模拟）设x为实数，[x]为不超过实数x的最大整数，记{x}=x-[x]，则{x}的取值范围为[0，1），现定义无穷数列{a_n}如下：a₁={a}，当a_n≠0时，a_n+1={

1

an

}；当a_n=0时，a_n+1=0．如果a=

3

，则a₂₀₁₃=

3

-1

．

Answer 1

分析：根据已知条件：a=

3

计算数列{a_n}的前几项，从而得出无穷数列{a_n}呈周期性变化，周期为3．即可求出a₂₀₁₃的值．

解答：解：当a=

3

时，
a₁={a}=

3

-1，
a₂={

1

3 -1

}={

3 +1

2

}=

3 -1

2

，
a₃={

1

3 -1 2

}={

3

+1}=

3

-1，
a₄={

1

3 -1

}={

3 +1

2

}=

3 -1

2

，
…
无穷数列{a_n}呈周期性变化，周期为2．
∵2013=2×1006+1，
∴a₂₀₁₃=a₁=

3

-1．
故答案为：

3

-1．

点评：本题考查的是取整函数，数列与函数的综合．解答此题的关键是计算数列的前几项，进而得到无穷数列{a_n}呈周期性变化．