Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1，f（x）有极大值7；当x=3时，f（x）有极小值．
（Ⅰ）求a，b，c的值．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-ax²，求g（x）的单调区间．

Answer 1

（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax+b
由题意得，，
∴，
解得a=-3，b=-9，c=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=f（x）-ax²=x³-3x²-9x+2+3x²=x³-9x+2，
∴g'（x）=3x²-9，
当g'（x）＞0时，
有或，
所以函数g（x）的单调递增区间是和
当g'（x）＜0时，
有
所以函数g（x）的单调递减区间是．
分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax+b，由题意得，由此能求出a，b，c的值．
（Ⅱ）、由（Ⅰ）得g（x）=x³-9x+2，于是g'（x）=3x²-9，由此能求出函数g（x）的单调递减区间．
点评：本题考查导数的应用，考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，