Question

14．已知函数$f（x）=\sqrt{x}$和g（x）=alnx，曲线y=f（x）和y=g（x）有交点且在交点处有相同的切线，则a=（　　）

• A． $\frac{e}{3}$
• B． $\frac{e}{2}$
• C． $\frac{2e}{3}$
• D． e

Answer 1

分析 先求出交点，再根据切线相等，建立方程，即可求出a．

解答 解：∵函数$f（x）=\sqrt{x}$，g（x）=alnx，a∈R．
∴f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，g′（x）=$\frac{a}{x}$（x＞0），
由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，
故有$\sqrt{x}$=alnx且$\frac{1}{2\sqrt{x}}$=$\frac{a}{x}$，
解得a=$\frac{e}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义，正确求导是关键．