Question

已知函数f（x）=

x

|x|-1

，x∈（-1，1），有下列结论：
①?x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
②?m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实根；
③?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④存在无数个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3个零点．
其中正确结论的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可．②判断函数|f（x）|的奇偶性和最值即可判断．③根据分式函数的性质判断函数的单调性，④根据函数图象以及函数奇偶性的性质进行判断．

解答：解：①∵f（x）=

x

|x|-1

，x∈（-1，1），
∴f（-x）=

-x

|x|-1

=-

x

|x|-1

=-f（x），x∈（-1，1），
即函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立．∴①正确．
②∵f（x）=

x

|x|-1

，x∈（-1，1）为奇函数，
∴|f（x）|为偶函数，
当x=0时，|f（0）|=0，
∴当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，当m＞0时，方程有两个不等实根，∴②错误．
③当x∈[0，1）时，f（x）=

x

|x|-1

=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

≤0，为减函数．
当x∈（-1，0]时，f（x）=

x

|x|-1

=

x

-x-1

=

x+1-1

-x-1

=-1+

1

x+1

≥0，为减函数．
综上函数f（x）在（-1，1）上为单调函数，且单调递减，
∴?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）成立，即③正确．
④由g（x）=f（x）-kx=0得f（x）=kx，
∴f（0）=0，即x=0是函数的一个零点，
又∵函数f（x）为奇函数，且在（-1，1）上单调递减，
∴可以存在无数个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3个零点，如图：
∴④正确．
故①③④正确．
故选：C．

点评：本题主要考查分式函数的性质，利用函数奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键，综合性强，难度较大，本题的质量较高．