题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足S_n= $数学公式$ （1-a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）= $数学公式$ ，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求T_n= $数学公式$ + $数学公式$ … $数学公式$ 的值．

解：（1）n≥2时， $\text{[math]}$ ，
2a_n=-a_n+a_n-1
$\text{[math]}$ ，---------------------------------------------------------------------------（3分）
$\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
∴数a_n是以首 $\text{[math]}$ ，公比 $\text{[math]}$ 的等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ------（5分）
（2）∵f（x）= $\text{[math]}$ ，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -----------（10分）
即 $\text{[math]}$ -------------------（12分）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴T_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ --------（14分）
分析：（1）n≥2时由a_n=s_n-s_n-1，再利用 $\text{[math]}$ 求得a₁，分析可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由f（x）= $\text{[math]}$ ，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）， $\text{[math]}$ 可求得b_n，再用裂项法可求T_n的值．
点评：本题考查数列求和，重点考查裂项法求和，考查学生的理解与转化及运算能力，属于中档题．