Question

6．若0＜a＜b，且a^b=b^a，求a的范围．

Answer 1

分析 取对数，设f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则f'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f（x）在e的左边严格单调递增，在e的右边严格单调递减，即可得出结论．

解答 解：∵a^b=b^a，
∴$\frac{lnb}{b}=\frac{lna}{a}$．
设f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则f'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f（x）在e的左边严格单调递增，在e的右边严格单调递减，
∴a＜e，b＞e．最大值为f（e）=$\frac{1}{e}$，
当x趋向于正无穷时，f（x）趋向于0．在e的右侧，0＜f（x）＜$\frac{1}{e}$．
若要有解，则要求a要使得左边的f（x）＞0．当x=1时y=0，故1＜a＜e．

点评 本题考查对数知识的运用，考查导数知识，构造函数，确定函数的单调性是关键．