题目内容

已知数列{a_n}的首项a₁=t＞0， $数学公式$ ，n=1，2，…
（1）若 $数学公式$ ，求证 $数学公式$ 是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，求t的取值范围．

（1）证明：由题意知a_n＞0，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ （4分）
∴数列 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列；（5分）
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （8分）
（2）解：由（1）知 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （10分）
由 $\text{[math]}$ 知a_n＞0，故a_n+1＞a_n得 $\text{[math]}$ （11分）
即 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，又t＞0，则0＜t＜1（14分）
分析：（1）根据条件取倒数，再作变形，即可证得数列 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，从而可求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，即可求{a_n}的通项公式；
（2）由 $\text{[math]}$ 知a_n＞0，故a_n+1＞a_n得 $\text{[math]}$ ，根据数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，可得不等式，从而可求t的取值范围．
点评：本题以数列的递推式为载体，考查构造法证明等比数列，考查数列的通项，考查不等式知识，解题的关键是取倒数，构造新数列．