Question

【题目】如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，，.

（1）若，求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）若，求与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）取的中点，连接，根据四边形的性质，证得，利用线面平行的判定，即可证得平面.

（2）由四边形为菱形，证得，又由，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面平面.

（3）作于，得到为于平面所成的角，在在中，利用余弦定理，即可求解.

（1）取的中点，连接，

因为是菱形的对角线与的交点，所以，且，

又因为，且，所以，且，

从而四边形为平行四边形，所以.

又平面，平面，平面.

（2）因为四边形为菱形，所以；

因为，是的中点，所以，

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（3）作于，因为平面平面，平面平面 ，

平面，所以平面，则为于平面所成的角.

由及四边形为菱形，得为正三角形，

则，.

又，所以为正三角形，从而.

在中，得，

所以与平面所成角的余弦值为.