题目内容

设向量 $数学公式$ ，计算 $数学公式$ ， $数学公式$ 及 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角，并确定当λ，μ满足什么关系时，使 $数学公式$ 与z轴垂直．

解：∵ $\text{[math]}$ =（3，5，-4）， $\text{[math]}$ =（2，1，8），
∴2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ =（12，13，16），3 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ =（5，13，-28）， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-21．
又 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是arccos $\text{[math]}$
∵z轴的方向向量为（0，0，1），
λ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ =（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），
∵λ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ 与z轴垂直，则0•（3λ+2μ）+0•（5λ+μ）+（-4λ+8μ）=0，即8μ-4λ=0，∴λ=2μ．
∴λ=2μ时，λ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ 与z轴垂直．
分析：由向量的坐标运算规则求出 $\text{[math]}$ 的坐标，利用数量积公式求出， $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角，确定λ，μ满足什么关系．
点评：本题是空间向量求直线的夹角、距离，考查了向量的坐标运算以及向量的夹角的求法，向量垂直的等价条件，解答本题关键是了解向量的几何意义，数量积的几何意义．