Question

已知圆C的方程为x²+y²=4，直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．过点（0，1）作直线l₁与l垂直，且直线l₁与圆C交于M、N两点，则四边形PMQN面积的大值（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7

Answer 1

【答案】分析：设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积S，直线l，l₁都经过点（0，1），且l⊥l₁，根据题勾股定理，知d₁²+d²=1，又根据垂径定理和勾股定理，得到，|MN|=2，由此能求出四边形PMQN面积的大值．
解答：解：设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，
四边形PMQN的面积S，
∵直线l，l₁都经过点（0，1），且l⊥l₁，
根据题勾股定理，知d₁²+d²=1，

又根据垂径定理和勾股定理，得到
，|MN|=2，
而，
即×2×
=
=
≤
=2
=7．
当且仅当d₁=d时，等号成立，
所以S的最大值为7．
点评：本题考查与圆有关的比例线段，是中档题．解题时要认真审题，注意垂径定理和勾股定理的灵活运用．