Question

已知函数f（x）=inx-a（x-1），a∈R
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（2分）
若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，
当x∈（）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．
所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．…（4分）
（Ⅱ）f（x）-=，
令g（x）=xlnx-a（x²-1），（x≥1），
g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，
，…（6分）
①或a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，
g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，
∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，
从而f（x）-不符合题意．…（8分）
②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，
∴g′（x）在（1，）递增，
从而g′（x）＞g′（1）=1-2a，
∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，
从而f（x）-不符合题意．…（10分）
③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，
从而g9x）在[1，+∞）递减，
∴g（x）≤g（1）=0，f（x）-≤0，
综上所述，a的取值范围是[）．…（12分）
分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．
（Ⅱ）f（x）-=，令g（x）=xlnx-a（x²-1），（x≥1），g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．
点评：本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意导数性质的合理运用．