Question

已知函数f（x）=ax³-（a+2）x²+6x-c（a，c为常数）．
（I）若函数f（x）为奇函数，示此函数的单调区间；
（II）记g(x)=

1

2

(a+2)x2+3-c，当a≤0时，试讨论函数y=g（x）与y=f（x）的图象的交点个数．

Answer 1

分析：（I）根据f（x）=ax³-（a+2）x²+6x-c（a，c为常数）为奇函数，可得c=0，a=-2，从而可得函数解析式，进而可求函数的单调区间；
（II）当a≤0时，函数y=g（x）与y=f（x）的图象的交点个数即为方程f（x）=g（x）的根的个数，即ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3=0的根的个数，构造函数F（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3，即求函数y=F（x）的图象与x轴的交点的个数，分类讨论：①当a=0时，F（x）=-3（x-1）²，函数y=F（x）的图象与x轴只有一个交点；②当a＜0时，

2

a

＜1，确定函数的单调性与极值，可得函数y=F（x）的图象与x轴有3个不同交点．

解答：解：（I）∵f（x）=ax³-（a+2）x²+6x-c（a，c为常数）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴ax³-（a+2）x²-6x-c=-ax³+（a+2）x²-6x+c
∴c=0，a=-2
∴f（x）=-2x³+6x
∴f′（x）=-6（x+1）（x-1）
令f′（x）＞0，可得-1＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜-1或x＞1
∴函数的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）
（II）记g(x)=

1

2

(a+2)x2+3-c，当a≤0时，函数y=g（x）与y=f（x）的图象的交点个数即为方程f（x）=g（x）的根的个数，即ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3=0的根的个数．
令F（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3，即求函数y=F（x）的图象与x轴的交点的个数
F′（x）=3（x-1）（ax-2）
①当a=0时，F（x）=-3（x-1）²，函数y=F（x）的图象与x轴只有一个交点；
②当a＜0时，

2

a

＜1，F′（x）=3a（x-1）（x-

2

a

）
当x＜

2

a

时，函数单调减，

2

a

＜x＜1时，函数单调增，当x＞1时，函数单调减
∴当x=

2

a

时，函数取得极小值为-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0；当x=1时，函数取得极大值-

a

2

＞0
∵F（2）=2a-3＜0
∴函数y=F（x）的图象与x轴有3个不同交点
综上所述，当a=0时，函数y=F（x）的图象与x轴只有一个交点；当a＜0时，函数y=F（x）的图象与x轴有3个不同交点．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数与方程思想，考查分类讨论的数学思想，将图象交点问题转化为方程根的个数问题是解题的关键．