Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为α，则sinα=（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  2

• C．

  10

  4

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：要求AD与平面AA₁C₁C所成的角，关键是找出AD在平面AA₁C₁C内的射影，利用正三棱柱的性质可得到线面角，解直角三角形求出此角的正弦值．

解答：解：如图，分别取C₁A₁、CA的中点E、F，连接B₁E与BF，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴B₁E⊥平面CAA₁C₁，
过D作DH∥B₁E，则DH⊥平面CAA₁C₁，
连接AH，则∠DAH为所求的AD与平面AA₁C₁C所成的角
∵AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1
∴DH=B₁E=

3

2

，DA=

2

，
所以sin∠DAH=

DH

DA

=

6

4

；
故选D．

点评：本题以正三棱柱为载体，考查线面角，关键是找出AD在平面AA₁C₁C内的射影．