Question

对于函数，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（Ⅲ）写出（Ⅱ）中函数的单调区间，并用定义给出证明．

Answer 1

（1）解：由题意可得，2^x-1≠0 即x≠0
∴定义域为{x|x≠0}
（2）解：由f（x）是奇函数，则对任意x∈{x|x≠0}

化简得（a-1）2^x=a-1∴a=1
∴a=1时，f（x）是奇函数
（3）当a=1时，的单调递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞） 且x₁＜x₂ 则
∵0＜x₁＜x₂ y=2^x 在R上递增∴
∴，，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x） 在（0，+∞） 上单调递减．同理：f（x） 在（-∞，0）上单调递减．
综上： 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞） 上单调递减．
分析：（1）由题意可得，2^x-1≠0 可求函数的定义域
（2）由题意可得，化简可求a
（3）当a=1时，，只要现证明，x∈（0，+∞）时的单调性，然后根据奇函数对称区间上的单调性相同可知，任取x₁，x₂∈（0，+∞） 且x₁＜x₂ 然后只要判断f（x₁）与f（x₂）的大小即可 证明
点评：本题主要考查了奇函数的定义在参数求解中的应用，及函数的单调性的定义在函数证明中的应用，属于函数知识的综合应用．