Question

在△ABC中，A=

π

3

，BC=2

3

，设内角B=x，△ABC的面积为y，
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由A与B的度数，利用内角和定理表示出C，求出x的范围即为y=f（x）的定义域，利用正弦定理表示出AB，利用三角形的面积公式列出函数解析式即可；
（2）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出y的最大值．

解答：解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，
∵A=

π

3

，B=x，B＞0，C＞0，
∴C=

2π

3

-x，0＜x＜

2π

3

，即函数y=f（x）的定义域为（0，

2π

3

）；
由正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

，得AB=

BC

sinA

sinC=4sin（

2π

3

-x），
∴y=

1

2

AB•BCsinB=4

3

sinxsin（

2π

3

-x）（0＜x＜

2π

3

）；
（2）y=4

3

sinxsin（

2π

3

-x）=4

3

sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）=6sinxcosx+2

3

sin²x=3sin2x-

3

cos2x+

3

=2

3

sin（2x-

π

6

）+

3

（-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

），
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，y取最大值3

3

．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．